Понимание интеграла и интегрирование способно для многих стать проблемой. Вопросы – что такое интеграл и что такое интегрировать может стать большой головной болью. В этой статье Вы найдете достаточно информации, чтобы знать, чтобы понять, что это такое.
В качестве подтверждения простейших теоретических основ вычислений подробно рассмотрен практический пример.
Существует несколько определений интеграла, мы расскажем про два из них, самые распространенные.
Определение первое. Мутное, но важное.
Это определение самое непонятное, но его описывают в средней и высшей школах и требуют на экзаменах. Определение из разряда зузубрить и повторить.
Интегрирование это процесс поиска первообразной функции, противоположный процессу диференцированию. Интеграл это функция, которая при дифференцировании дает исходное выражение.
Общеизвестно, что формула ускорения получается из скорости путем дифференцирования. Однако, на практике часто бывает необходимо сделать наоборот. По ускорению, найти скорость. А затем из скорости получить пройденный путь. Согласно утверждению из предыщего абзаца можно сказать, что скорость является первообразной для ускорения. А пройденный путь является первообразной для скорости. На рисунке пример из самой известной связки Ускорение-Скорость-Путь.
Из этого определение вытекает одно важное свойство. Если взять дифферециал от интеграла, то получиться подинтегральное выражение. Знаки d и ∫ взаимно сократяться.
Кстати, правило действует и в обратную сторону.
Определение второе. Четкое и понятное.
Допустим, что у нас есть какой то график. Для простоты пусть будет прямая. Обозначим его на красным цветом. Теперь построим над ним другой график, по определенному правилу.
Каждое новое значение верхнего графика будет равно площади под нижним графиком от начального момента до текущего.
То есть верхний график будет показывать некое накопление нижнего параметра или суммирование.
Назовем это построение графическим интегрированием. ∫ это знак интеграла. Знак интеграла это переделенный знак суммы и буквы S.
Под эту зависимость подходят математические описания большого числа физических процессов. Один из них мы рассмотрим ниже.
Также дадим здесь еще несколько определений. Функцию, которую преобразововываем будет подинтегральной функцией, а которая получиться – первообразной.
Можно сказать, что математически интегрирование это процесс поиска первообразной функции. Интеграл это формула, которая должна получиться при поиске. Интегрировать это значит искать формулу, которая покажет накопительное или суммирующее свойство подинтегрального выражения.
Объяснение второго определения на практическом примере и ручная проверка.
Самый простой пример это вычисление объема водохранилища по расходу воды через расходомер. Представим человека, который наполняет водой некий сложный объем, например произольно вырытая яма в земле. Но он его заполняет водой, проходящий через расходомер. Если записывать расход воды в каждую единицу времени, то подсчитать объем не составит труда. Это площадь под графиком расхода.
Предлагаю проставить числа на графиках и просчитать вручную наши интегралы.
Предполагаем, что у нас расход постепенно увеличивается.
Это означает, что мы заполняем наше водохранилище не через трубу, а по глинистой канаве, которая потихоньку размывается и расход со временем увеличивается. Мы это делаем только для того, чтобы исходная функция была бы наклонная оси х, а не параллельна ей. Это для наглядности.
Мы сделали четыре измерения.
Первое измерение, начальное. Когда расхода нет, и соответственно нет и заполненного объема. Время измеряем в часах, расход в кубометрах на час. Для нашего случая исходная кривая расхода это у=k*x+b. Подставим для нашего случая удобные для визуального просмотра параметры. То есть y=0,5*x+1 Получаем:
Учитывая простоту примера, вручную измеряем площадь под графиком расхода.
Вручную считаем сумму под графиком расхода. Это один ряд 10 кубиков, и половина 5*10 кубиков. Всего 35 кубометров в час.
Далее подсчитаем для 20 часов. Это один прямоугольник 6*10 и треугольник 5*10/2. Получаем 85. Плюс за предыдущую точку 35. Получаем 120.
Подсчитаем последнее значение для 30 часов. Это прямоугольник 11*10 и треугольник 5*10/2. Получается 135. Плюс предыдущая сумма +120 получаем 255.
Теперь на основе этих подсчетов строим наш график.
Последний шаг ученых к интегралам
Ученые задались вопросом по упрощению рутинных вычислений. А можно ли вывести такие правила, по которым не надо будет вручную что либо считать. Ведь нам надо только получить выражение, в которую можно будет подставлять значения. И получать численный ответ.
Здесь надо вспомнить, первое наше определение – интегрирование обратно дифференцированию. Согласно этому утверждению, можно развернуть все формулы дифференцирования наоборот.
Для нашего случая исходная график расхода это у=k*x+b. Подставим для нашего случая удобные для визуального просмотра параметры. То есть y=0,5*x+1
Если выполнить преобразования обратные дифференцированию, то получаем у=к*x*x/2+x+C=x*x/4+x +С
Нам известно, что в нулевой точке, интеграл тоже будет равен нулю. Находим из этого выражения С. Это слагаемое тоже будет равно нулю.
Проверяем наше выражение для первой точки. 0.5*10*10/2+10 = 35 кубометров в час.
Подставляем значение 20 и получаем значение 20*20/4+20+0 = 120
Подставляем значение 30 и получаем значение 30*30/4+30+0 = 255
Наш математический расчет полностью повторил ручной. С чем друг друга можно и поздравить. Подобная логика вдохновила математиков на вычисления интегралов разных типов. Не только наклонной линии, но и более сложных кривых.
Таблица их интегралов приведена ниже.
Теперь на вопрос, что значит интегрировать можно ответить просто.
Это значит находить формулу кривой, которая покажет изменение накопительного или суммирующего свойства исходной формулы.
(Напомню еще раз: Знак интеграла это видоизменная буква S, что означает сумма). В нашем примере кривая наполнения водоема это накопительное свойство расхода. Также можно сказать, что скорость это суммирующее свойство изменения ускорения.
Если у вас есть вопросы по тексту, или вы нашли неточность, то прошу написать все в комментариях. Заранее спасибо.
Также подробную информацию можно получить и на сайте Википедии.
