Курсовая работа на тему Численные методы решения задач

СОДЕРЖАНИЕ

1 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ.

1.1 Задача 1

1.1.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.

1.1.2 Формулы расчета коэффициентов аппроксимирующей кривой по методу наименьших квадратов, EXCEL –таблица и ее описание.

1.1.3 Аналитический вид полученной функции g(x) и совместный график «функция g(x) + экспериментальные точки».

1.1.4 Полная аналитическая запись и график функции F(g(x), x).

1.1.5 Формулы вычисления определенного интеграла методами средних прямоугольников и трапеций, уточнения по Ричардсону, EXCEL –таблица и ее описание.

1.1.6 Погрешности вычисленных значений и их анализ.

1.1.7​ Вычисленное значение интеграла.

2 Задача 2

2.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.

2.2 Формулы численного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта, EXCEL -таблица и ее описание.

2.3 Графики полученных решений задачи Коши для обоих методов на одной диаграмме.

2.4 Исходные данные и формулы вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона, EXCEL -таблица и ее описание.

2.5 Найденные коэффициенты полинома P3(x), проверка выполнения условий Лагранжа и полная запись P3(x).

2.6 Приведение уравнения P3(x)=0 к виду, необходимому для использования метода простых итераций с условием его сходимости.

2.7 Формула вычислительного процесса метода простых итераций, критерий окончания процесса, EXCEL -таблица и ее описание.

2.8 Найденный корень уравнения.

3 Теоретический раздел, включающий полное раскрытие одного из изучавшихся в 3 семестре численных методов (по указанию преподавателя).

4 Перечень использованной литературы.

1. РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ

1.1 Задача 1

1.1.1 Постановка задачи и последовательность ее решения

Вычислить определенный интеграл

(1)

где g(x) – функция, полученная методом наименьших квадратов по заданной совокупности экспериментальных данных.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 1

1)​ По заданным экспериментальным данным методом наименьших квадратов вычислить коэффициенты C и D аппроксимирующей зависимости g(x)=CeDx.

2)​ Построить диаграмму: график функции g(x) (гладкая кривая) + точки экспериментальных данных.

3)​ Построить график функции F(g(x),x) на интервале [a,b] c шагом h=(ba)/20 (гладкая кривая).

4)​ Вычислить интеграл (1) методом средних прямоугольников для 20 разбиений и методом трапеций для 10 и 20 разбиений. По значениям, полученным методом трапеций, получить уточнение интеграла по методу Ричардсона и считать его решением всей задачи.

5)​ Считая значение, полученное методом Ричардсона, точным, определить погрешности значений, полученных методами средних прямоугольников и трапеций.

6)​ Проанализировать полученные погрешности и сделать аргументированный вывод о правильности вычисления интеграла.

1.1.2 Формулы расчета коэффициентов аппроксимирующей кривой по методу наименьших квадратов, EXCEL – таблица и ее описание.

_____ _ ___ _ _ __

D = (x*ln g — x*ln g)/(x*x — x2);

____ __

C = exp(ln g — D*x2);

Таблица EXCEL:

x

g(x)

x*x

ln g

x*ln g

G(x)

2

0,93

4

-0,07257

-0,14514

1,070389

2

0,969

4

-0,03149

-0,06298

1,070389

2

1,001

4

0,001

0,001999

1,070389

2,3

0,862

5,29

-0,1485

-0,34155

0,83681

2,7

0,52

7,29

-0,65393

-1,7656

0,602662

2,7

0,635

7,29

-0,45413

-1,22615

0,602662

3,2

0,389

10,24

-0,94418

-3,02136

0,399837

3,2

0,463

10,24

-0,77003

-2,46409

0,399837

3,6

0,303

12,96

-1,19402

-4,29848

0,287958

3,8

0,219

14,44

-1,51868

-5,771

0,244373

4

0,231

16

-1,46534

-5,86135

0,207385

4

0,339

16

-1,08176

-4,32702

0,207385

4

0,184

16

-1,69282

-6,77128

0,207385

4,1

0,224

16,81

-1,49611

-6,13405

0,191046

4,1

0,173

16,81

-1,75446

-7,1933

0,191046

4,6

0,243

21,16

-1,41469

-6,50759

0,12675

4,6

0,117

21,16

-2,14558

-9,86967

0,12675

4,6

0,184

21,16

-1,69282

-7,78697

0,12675

4,8

0,105

23,04

-2,25379

-10,8182

0,107565

5

0,029

25

-3,54046

-17,7023

0,091284

Ср. знач.

3,565

0,406

13,6445

-1,21622

-5,10331

0,296349

1.1.3 Аналитический вид полученной функции g(x) и совместный график «функция g(x) + экспериментальные точки».

G(x) = C*exp(D*x);

1.1.4 Полная аналитическая запись и график функции F(g(x), x).

F(g,x) = (C*exp(D*x))1/2-sin(x)/2;

1.1.5 Формулы вычисления определенного интеграла методами средних прямоугольников и трапеций, уточнения по Ричардсону, EXCEL –таблица и ее описание.

Sср = h*СУММ(F(g,x));

Sтр1 = h/2*( F(g,x)1+ F(g,x)11)+h*СУММ(F(g,x));

Sтр2 = h/2*( F(g,x)1+ F(g,x)21)+h*СУММ(F(g,x));

Sр = Sтр2 + ( Sтр2 — Sтр1)/(hтр12— hтр22)* hтр22;

1.1.6 Погрешности вычисленных значений и их анализ.

Rcp=

0,009958

Rтр1=

-0,08035

Rтр2=

-0,02009

В методе средних прямоугольников погрешность ниже, чем в методе трапеций.

1.1.8​ Вычисленное значение интеграла.

Sр=

4,940785

2. Задача 2

2.1 Постановка задачи и последовательность ее решения.

Методом простых итераций определить корень уравнения

,

(2)

где  решение задачи Коши

, .

(3)

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 2

1)​ Решить на интервале [xn, xk] с разбиением его на 20 частей обыкновенное дифференциальное уравнение (3) первого порядка y′=f(x,y) при начальных условиях y(x0)=y0методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

2)​ Построить диаграмму с графиками найденных решений (тип графика для метода Эйлера – отдельные точки, для метода Рунге-Кутта – гладкая кривая).

3)​ С помощью интерполяционного полинома Ньютона аппроксимировать функцию y(x)полиномом третьей степени P3(x) в окрестности точки пересечения y(x0) с осью абсцисс, для чего:

​ из таблицы значений y(x0), найденной по методу Рунге-Кутта 4-го порядка, выбрать четыре последовательные точки, ближайшие к оси абсцисс и расположенные по обе стороны от нее;

​ по выбранным четырем узловым точкам построить интерполяционный полином НьютонаP3(x);

​ подстановкой в полином P3(x) значений абсцисс узловых точек проверить правильность найденных его коэффициентов на выполнение условий Лагранжа.

4)​ Методом простых итераций c точностью  найти корень уравнения P3(x)=0. Для использования метода простых итераций преобразовать уравнение P3(x)=0 к виду x=P3(x)+xи найти значение коэффициента С, обеспечивающее сходимость метода.

Найденный корень уравнения P3(x)=0 рассматривать как приближенное решение уравнения (2) и в целом задачи 2.

2.2 Формулы численного решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта, EXCEL -таблица и ее описание.

ym+1 = ym+h*f( xm , ym) – метод Эйлера;

ym+1 =ym+ (К0+2К1+2К23)/6– метод Рунге-Кутта.

Таблица EXCEL:

a

b

y0

1

3

-2

x

Эйлер

K0

K1

K2

K3

Р-К

1

-2

-2

1,1

-1,8

0,2

0,200726

0,200709

0,202786

-1,79906

1,2

-1,597182

0,202775

0,206062

0,20599

0,210378

-1,59285

1,3

-1,386633

0,210369

0,215757

0,215649

0,221969

-1,37699

1,4

-1,164301

0,221961

0,229139

0,229006

0,236999

-1,14778

1,5

-0,926718

0,236992

0,245743

0,245592

0,255073

-0,90199

1,6

-0,670828

0,255066

0,265233

0,265069

0,275904

-0,63673

1,7

-0,393864

0,275898

0,287365

0,287191

0,299281

-0,34935

1,8

-0,09328

0,299275

0,311956

0,311775

0,325044

-0,03739

1,9

0,233311

0,325038

0,338868

0,338681

0,353071

0,301483

2

0,5881712

0,353066

0,367993

0,367802

0,383268

0,66947

2,1

0,9734669

0,383263

0,399248

0,399053

0,415559

1,068707

2,2

1,3912891

0,415555

0,432564

0,432367

0,449885

1,501257

2,3

1,8436689

0,449881

0,46789

0,46769

0,486197

1,96913

2,4

2,3325892

0,486193

0,505181

0,504979

0,524456

2,474292

2,5

2,8599936

0,524452

0,544403

0,544199

0,56463

3,018673

2,6

3,4277937

0,564627

0,585525

0,58532

0,606692

3,604174

2,7

4,0378746

0,606689

0,628523

0,628317

0,650621

4,232673

2,8

4,6920991

0,650617

0,673378

0,673171

0,696396

4,906024

2,9

5,3923116

0,696392

0,720071

0,719863

0,744002

5,626068

3

6,1403407

0,743999

0,768588

0,768379

0,793426

6,394628

2.3 Графики полученных решений задачи Коши для обоих методов на одной диаграмме.

2.4 Исходные данные и формулы вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона, EXCEL -таблица и ее описание.

Исходные данные:

1,7

-0,34935

1,8

-0,03739

1,9

0,301483

2

0,66947

Pn(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)(x-x1)+…+An(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1) — формула вычисления коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона.

Таблица EXCEL:

x

A0

A1

A2

A3

x

F

1,7

-0,349349

1,7

-0,34935

1,8

-0,037385

3,119634

1,8

-0,03739

1,9

0,3014829

3,254157

1,345228

1,9

0,301483

2

0,6694702

3,396062

1,382142

0,369135

2

0,66947

2.5 Найденные коэффициенты полинома P3(x), проверка выполнения условий Лагранжа и полная запись P3(x).

Найденные коэффициенты полинома P3(x):

-0,34935

-0,03739

0,301483

0,66947

x0

x1

x2

x3

F

B

1

1,7

2,89

4,913

-0,34935

-3,68248

x0

1

1,8

3,24

5,832

-0,03739

1,995641

x1

1

1,9

3,61

6,859

0,301483

-0,6481

x2

1

2

4

8

0,66947

0,369135

x3

2.6 Приведение уравнения P3(x)=0 к виду, необходимому для использования метода простых итераций с условием его сходимости.

d-P'(x)

x

P'(x)

-2/P'(x)

C

0

1,7

2,992494

-0,66834

-0,26

1,995641

2

3,832853

-0,5218

-1,29621

1,107406

2.7 Формула вычислительного процесса метода простых итераций, критерий окончания процесса, EXCEL -таблица и ее описание.

Таблица EXCEL:

x

C*F(x)+x

e

1,7

1,7908306

-0,09083

1,790831

1,8082707

-0,01744

1,808271

1,8109771

-0,00271

1,810977

1,811378

-0,0004

1,811378

1,8114369

-5,9E-05

2.8 Найденный корень уравнения.

X = 1,8114369;

3. Теоретический раздел, включающий полное раскрытие одного из изучавшихся в 3 семестре численных методов (по указанию преподавателя)

Метод Эйлера решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка

Одношаговые методы рассмотрим на примере решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида

y’ = f (x,y) ,

(7.2)

при начальном условии

y(x0) = y0.

(7.2’)

С помощью этих методов вычисляют последовательные значения y, соответствующие дискретным значениям независимой переменной x.

Метод Эйлера — это простейший метод решения задачи Коши, позволяющий интегрировать дифференциальные уравнения первого порядка. Его точность невелика, и поэтому на практике им пользуются сравнительно редко. Однако на основе этого метода легче понять алгоритмы других, более эффективных методов.

Итак, решается задача Коши (7.2, 7.2’). Запишем разложение для m=0, отбросим в нем члены, содержащие h во второй и более высоких степенях, и получим:

 .

(7.5)

Величину  находим из дифференциального уравнения (7.2), подставив в него начальное условие: . Таким образом можно получить приближенное значение зависимой переменной при малом смещении h от начальной точки.

Этот процесс можно продолжить, используя соотношение

(7.6)

и делая сколь угодно много шагов. Графически метод Эйлера показан на рис.7.3. Хотя тангенс угла наклона касательной к истинной кривой в исходной точке известен и равен y'(x0), он изменяется в соответствии с изменением независимой переменной. Поэтому в точке  x0+h наклон касательной уже не таков, каким он был в точке x0. Следовательно, при сохранении начального наклона касательной на всем интервале [x0,x1] в результаты вносится погрешность. Ошибка метода имеет порядок  h2, а сам метод является методом первого порядка, так как в его вычислительной формуле (7.6) параметр h имеет максимальную степень -1.

Рис.7.3. Геометрическая интерпретация

метода Эйлера

Рис.7.4. Ошибка метода Эйлера

на m-м шаге

4. Перечень использованной литературы

1.​ Ершов М.Н. Численные методы решения задач: Конспект лекций. / М.Н. Ершов.Керчь: КГМТУ. 2013.72с.

2.​ Ершов М.Н. Задания к лабораторным и курсовой работам по курсу «Информационные технологии. Численные методы решения задач» для студентов дневной формы обучения по направлению 6.070104 «Морской и реч​ной транспорт” Методические указания/М.Н. ЕршовКерчь: КГМТУ. 2014. 36с

3.​ Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль./ Мудров А.Е. Томск: МП»Раско», 1991. – 272 с.

4.​ Пащенко И. Word 2007. Шаг за шагом. / И. Пащенко. – М.: Эксмо, 2008. – 464с.

5.​ Уокенбах Джон. Excel 2007. Библия: пер. с англ. / Джон Уокенбах. – К.: Диалектика, 2008.768с.

6.​ Маликов В.Т. Вычислительные методы и применение ЭВМ. Учебное пособие. / В.Т. Маликов, Р.Н. Кветный Киев: Высшая школа,1989. 213с.

7.​ Самарский А.А. Численные методы. / А.А. Самарский, А.В. Гулин М.: Наука, 1989.

8.​ Мак-Кракен Д. Численные методы и программирование на Фортране./ Мак-Кракен Д., Дорн У. М.: Мир, 1977. – 584 с.

9.​ Воробьева Г.Н. Практикум по вычислительной математике: Учеб.пособ./ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова М.: Высш.шк,1990. 208с.

10.​ Бахвалов Н.С. Численные методы./ Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков М.: Наука. 1987.

11.​ Калиткин Н.Н. Численные методы. Учеб. пособие./Н.Н. Калиткин – М.: Наука,1978. -512с.